Зачем нужен справочник формул SAT Math
Математическая секция Digital SAT проверяет не столько умение заучивать формулы, сколько способность применять их в контексте реальных задач. Тем не менее без твёрдого знания ключевых формул получить высокий балл невозможно. На экзамене каждая секунда на счету: если вы тратите время на вспоминание формулы площади трапеции или формулы дискриминанта, вы теряете время, которое могли бы потратить на решение более сложных задач.
В этом справочнике собраны все формулы, которые встречаются на Digital SAT Math. Для каждой формулы указано: сама формула, когда она применяется, пример задачи в стиле экзамена и типичные ошибки. Мы также чётко разделили формулы на две категории: те, которые College Board предоставляет на экзамене (Reference Sheet), и те, которые необходимо выучить наизусть.
Если вам нужен полный обзор структуры математической секции — прочитайте наш полный гид по SAT Math. Всё о системе оценивания — в статье SAT баллы: как считаются. А этот справочник используйте как настольную шпаргалку при подготовке.
Формулы которые дают на экзамене (Reference Sheet) vs. формулы наизусть
На Digital SAT в начале математической секции доступен встроенный справочный лист (Reference Sheet). Понимание того, что в нём содержится, а что нет, — критически важно для стратегии подготовки.
Что содержит Reference Sheet College Board
| Формула | Описание |
|---|---|
| A = l x w | Площадь прямоугольника |
| A = (1/2) x b x h | Площадь треугольника |
| V = l x w x h | Объём прямоугольного параллелепипеда |
| V = pi x r^2 x h | Объём цилиндра |
| V = (4/3) x pi x r^3 | Объём сферы |
| V = (1/3) x pi x r^2 x h | Объём конуса |
| V = (1/3) x l x w x h | Объём пирамиды |
| C = 2 x pi x r | Длина окружности |
| A = pi x r^2 | Площадь круга |
Специальные треугольники из Reference Sheet
| Треугольник | Соотношение сторон |
|---|---|
| 30-60-90 | x : x x sqrt(3) : 2x |
| 45-45-90 | x : x : x x sqrt(2) |
Дополнительные факты из Reference Sheet
- Сумма углов треугольника = 180 градусов
- Полный угол окружности = 360 градусов
- Длина дуги = (центральный угол / 360) x 2 x pi x r
- Площадь сектора = (центральный угол / 360) x pi x r^2
Что НЕ входит в Reference Sheet (нужно знать наизусть)
| Категория | Примеры формул |
|---|---|
| Алгебра | y = mx + b, формула наклона, системы уравнений |
| Квадратные уравнения | Формула корней, дискриминант, форма вершины, теорема Виета |
| Формулы сокращённого умножения | (a + b)^2, (a - b)^2, разность квадратов |
| Свойства степеней | Все правила работы со степенями и радикалами |
| Тригонометрия | SOH-CAH-TOA, sin/cos связь, тождество Пифагора |
| Статистика | Среднее, медиана, стандартное отклонение |
| Вероятность | P(A), P(A или B), условная вероятность |
| Проценты и пропорции | Процентное изменение, прямая пропорция |
| Уравнение окружности | (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 |
| Формулы расстояния и середины | Расстояние между точками, середина отрезка |
Важно: Хотя формулы из Reference Sheet доступны на экзамене, мы настоятельно рекомендуем выучить их наизусть. Каждый раз, когда вы обращаетесь к Reference Sheet, вы тратите 10-15 секунд. За 44 вопроса это может составить несколько минут потерянного времени. Подробнее о том, как организовать подготовку — в статье Как подготовиться к SAT.
1. Алгебра (Algebra)
Алгебра составляет около 35% всех вопросов SAT Math (~13-14 вопросов из 44). Это самый большой блок, и без твёрдого знания алгебраических формул получить высокий балл невозможно.
Линейные уравнения
Slope-Intercept Form (форма наклон-отсечение)
Формула: y = mx + b
- m — наклон (slope), показывает скорость изменения y при изменении x на 1
- b — точка пересечения с осью y (y-intercept)
Когда использовать: Когда нужно построить график прямой, найти наклон или y-intercept, интерпретировать линейную зависимость в контексте задачи.
Пример задачи: Компания берёт фиксированную плату $50 плюс $12 за каждый час работы. Если y — общая стоимость, а x — количество часов, какое уравнение описывает эту зависимость?
Решение: y = 12x + 50. Наклон m = 12 (стоимость за час), y-intercept b = 50 (фиксированная плата).
Типичная ошибка: Путают slope и y-intercept. Slope — это коэффициент при x (скорость изменения), а y-intercept — это свободный член (начальное значение).
Point-Slope Form (форма точка-наклон)
Формула: y - y1 = m(x - x1)
Когда использовать: Когда известен наклон и одна точка на прямой. Удобна для быстрого составления уравнения прямой, когда нет y-intercept.
Пример задачи: Прямая проходит через точку (3, 7) и имеет наклон 2. Запишите уравнение прямой.
Решение: y - 7 = 2(x - 3), что упрощается до y = 2x + 1.
Standard Form (стандартная форма)
Формула: Ax + By = C
Когда использовать: Для систем уравнений и для нахождения пересечений с осями. Если нужно найти x-intercept, подставьте y = 0; для y-intercept — x = 0.
Формула наклона
Формула: m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Когда использовать: Когда даны две точки и нужно найти наклон прямой.
Пример задачи: Найдите наклон прямой, проходящей через точки (2, 5) и (6, 13).
Решение: m = (13 - 5) / (6 - 2) = 8 / 4 = 2.
Типичная ошибка: Перепутать порядок вычитания: (y1 - y2) / (x2 - x1) даст неправильный знак. Всегда вычитайте координаты одной и той же точки в числителе и знаменателе.
Параллельные и перпендикулярные прямые
| Свойство | Условие |
|---|---|
| Параллельные прямые | Одинаковый наклон: m1 = m2 |
| Перпендикулярные прямые | Наклоны — отрицательные обратные: m1 x m2 = -1 |
Пример задачи: Прямая имеет наклон 3/4. Каков наклон прямой, перпендикулярной к ней?
Решение: m = -4/3 (отрицательная обратная дробь).
Системы линейных уравнений
Методы решения:
- Метод подстановки — выразите одну переменную через другую и подставьте
- Метод сложения/вычитания — сложите или вычтите уравнения, чтобы исключить одну переменную
- Графический метод — точка пересечения прямых = решение системы
Количество решений системы
| Ситуация | Количество решений |
|---|---|
| Прямые пересекаются (разные наклоны) | Одно решение |
| Прямые совпадают (одинаковые наклон и y-intercept) | Бесконечно решений |
| Прямые параллельны (одинаковый наклон, разный y-intercept) | Нет решений |
Пример задачи: Система: 2x + 3y = 12 и 4x + 6y = 24. Сколько решений?
Решение: Второе уравнение = первое x 2. Прямые совпадают — бесконечно решений.
Типичная ошибка: Забывают, что «нет решений» означает параллельные прямые (одинаковый наклон, разный y-intercept), а не просто «сложное уравнение».
Неравенства
Правило для неравенств: При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
Пример задачи: Решите -3x > 12.
Решение: Делим на -3, меняя знак: x < -4.
Типичная ошибка: Забывают перевернуть знак неравенства при делении на отрицательное число — это самая распространённая ошибка в алгебраических неравенствах на SAT.
Системы неравенств: При решении системы неравенств ответ — область, удовлетворяющая ВСЕМ неравенствам одновременно. В Desmos можно визуализировать эту область как пересечение закрашенных областей.
Абсолютное значение
Формула: |x| = a означает x = a или x = -a (при a >= 0)
Формула: |x| < a означает -a < x < a
Формула: |x| > a означает x > a или x < -a
Пример задачи: Решите |2x - 3| = 7.
Решение: 2x - 3 = 7 или 2x - 3 = -7. Значит x = 5 или x = -2.
Типичная ошибка: Забывают рассмотреть оба случая (положительный и отрицательный). Также помните: |x| = отрицательное число — решений нет.
2. Продвинутая математика (Advanced Math)
Advanced Math также составляет около 35% вопросов (~13-14 из 44). Здесь собраны формулы для квадратных уравнений, полиномов, экспоненциальных функций и радикалов.
Квадратные уравнения
Стандартная форма: ax^2 + bx + c = 0
Формула корней (Quadratic Formula)
Формула: x = (-b +/- sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a)
Когда использовать: Когда квадратное уравнение не факторизуется легко. Это универсальная формула, которая работает всегда.
Пример задачи: Решите 2x^2 + 5x - 3 = 0.
Решение: a = 2, b = 5, c = -3. D = 25 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49. x = (-5 +/- 7) / 4. x = 1/2 или x = -3.
Дискриминант (Discriminant)
Формула: D = b^2 - 4ac
| Значение D | Количество решений |
|---|---|
| D > 0 | Два различных вещественных решения |
| D = 0 | Одно вещественное решение (двойной корень) |
| D < 0 | Нет вещественных решений |
Когда использовать: Когда вопрос спрашивает «сколько решений имеет уравнение» или «при каком значении k уравнение имеет ровно одно решение».
Пример задачи: При каком значении k уравнение x^2 + kx + 9 = 0 имеет ровно одно решение?
Решение: Для одного решения D = 0: k^2 - 4(1)(9) = 0, k^2 = 36, k = 6 или k = -6.
Типичная ошибка: Путают «нет вещественных решений» (D < 0) и «бесконечно решений» — у квадратного уравнения не бывает бесконечно решений (максимум два корня).
Форма вершины (Vertex Form)
Формула: y = a(x - h)^2 + k, где (h, k) — вершина параболы
Когда использовать: Когда нужно найти максимум/минимум квадратичной функции или координаты вершины параболы. Если a > 0, вершина — минимум; если a < 0, вершина — максимум.
Координаты вершины из стандартной формы
Формула: x_vertex = -b / (2a), y_vertex = f(-b / (2a))
Пример задачи: Найдите вершину параболы y = x^2 - 6x + 5.
Решение: x = -(-6) / (2 x 1) = 3. y = 9 - 18 + 5 = -4. Вершина: (3, -4).
Пример задачи (контекст): Мяч подбрасывают вверх. Его высота описывается формулой h(t) = -16t^2 + 64t + 5. Какова максимальная высота?
Решение: t = -64 / (2 x (-16)) = 2 секунды. h(2) = -16(4) + 64(2) + 5 = -64 + 128 + 5 = 69 футов.
Факторизованная форма (Factored Form)
Формула: y = a(x - r1)(x - r2), где r1 и r2 — корни (нули функции)
Сумма и произведение корней (теорема Виета)
Формула: r1 + r2 = -b/a, r1 x r2 = c/a
Пример задачи: Если корни уравнения x^2 - 7x + k = 0 отличаются на 3, найдите k.
Решение: Пусть корни r и r + 3. Тогда r + (r + 3) = 7, значит r = 2 и r + 3 = 5. k = r1 x r2 = 2 x 5 = 10.
Формулы сокращённого умножения
| Формула | Раскрытие |
|---|---|
| (a + b)^2 | a^2 + 2ab + b^2 |
| (a - b)^2 | a^2 - 2ab + b^2 |
| (a + b)(a - b) | a^2 - b^2 |
Типичная ошибка: (a + b)^2 не равно a^2 + b^2. Забывают удвоенное произведение 2ab — это одна из самых частых ошибок на SAT.
Пример задачи: Если x + y = 10 и x^2 + y^2 = 60, чему равно xy?
Решение: (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2. 100 = 60 + 2xy. 2xy = 40. xy = 20.
Пример задачи: Упростите (x^2 - 49) / (x + 7).
Решение: x^2 - 49 = (x + 7)(x - 7). Ответ: x - 7 (при x не равно -7).
Полиномы
Теорема об остатке: При делении полинома P(x) на (x - a) остаток равен P(a).
Теорема о множителе: Если P(a) = 0, то (x - a) является делителем P(x).
Когда использовать: Когда нужно найти остаток от деления полинома или проверить, является ли значение корнем.
Пример задачи: Если P(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 5, каков остаток при делении P(x) на (x - 1)?
Решение: P(1) = 1 - 2 + 3 - 5 = -3. Остаток = -3.
Поведение полиномов:
- Степень полинома определяет максимальное количество корней (нулей)
- Полином степени n может иметь максимум n - 1 экстремумов (точек максимума/минимума)
- Чётная степень: оба конца графика направлены в одну сторону
- Нечётная степень: концы графика направлены в разные стороны
Экспоненциальные функции
Экспоненциальный рост/убывание
Формула: y = a x b^t
- a — начальное значение
- b — множитель роста (b > 1 — рост, 0 < b < 1 — убывание)
- t — время
Процентное изменение
| Тип | Формула |
|---|---|
| Рост на r% | y = a x (1 + r/100)^t |
| Убывание на r% | y = a x (1 - r/100)^t |
| Удвоение каждые d периодов | y = a x 2^(t/d) |
| Полураспад каждые h периодов | y = a x (1/2)^(t/h) |
Пример задачи: Популяция бактерий удваивается каждые 3 часа. Если начальная популяция 500, какова популяция через 9 часов?
Решение: y = 500 x 2^(9/3) = 500 x 2^3 = 500 x 8 = 4000.
Пример задачи: Стоимость автомобиля снижается на 15% ежегодно. Начальная цена $30 000. Какова стоимость через 4 года?
Решение: y = 30000 x (1 - 0.15)^4 = 30000 x 0.85^4 = 30000 x 0.522 = $15 660 (приблизительно).
Типичная ошибка: При убывании на 15% множитель 0.85, а не вычитание 15% от предыдущего значения каждый раз вручную. Формула уже учитывает кумулятивный эффект.
Свойства степеней
| Правило | Формула |
|---|---|
| Произведение степеней | a^m x a^n = a^(m+n) |
| Частное степеней | a^m / a^n = a^(m-n) |
| Степень степени | (a^m)^n = a^(m x n) |
| Нулевая степень | a^0 = 1 (при a не равно 0) |
| Отрицательная степень | a^(-n) = 1 / a^n |
| Дробная степень | a^(m/n) = n-й корень из a^m |
Пример задачи: Упростите (2x^3)^2 / (4x^2).
Решение: (4x^6) / (4x^2) = x^4.
Радикалы (корни)
Формула: sqrt(a x b) = sqrt(a) x sqrt(b)
Формула: sqrt(a / b) = sqrt(a) / sqrt(b)
Формула: a^(1/n) = n-й корень из a
Типичная ошибка: sqrt(a + b) не равно sqrt(a) + sqrt(b). Корень из суммы не равен сумме корней — это ловушка, которая встречается практически на каждом экзамене.
Пример задачи: Упростите sqrt(72).
Решение: sqrt(72) = sqrt(36 x 2) = 6 x sqrt(2).
3. Анализ данных и решение задач (Problem-Solving & Data Analysis)
Этот раздел составляет около 15% вопросов (~5-7 из 44). Формулы здесь менее «формульные» и больше про понимание концепций, но знать их наизусть необходимо.
Соотношения и пропорции
Прямая пропорция:
Формула: a/b = c/d (перекрёстное умножение: a x d = b x c)
Соотношение частей к целому:
Если A:B:C = 2:3:5, то A = 2/(2+3+5) = 2/10 = 1/5 от целого.
Пример задачи: Смесь содержит воду и концентрат в соотношении 7:3. Сколько литров концентрата в 20 литрах смеси?
Решение: Концентрат = (3/10) x 20 = 6 литров.
Проценты
| Операция | Формула |
|---|---|
| Процент от числа | Часть = (Процент / 100) x Целое |
| Какой процент A от B | Процент = (A / B) x 100 |
| Процентное изменение | ((Новое - Старое) / Старое) x 100% |
| Увеличение на p% | Новое = Старое x (1 + p/100) |
| Уменьшение на p% | Новое = Старое x (1 - p/100) |
Пример задачи: Цена выросла с $80 до $100. Каково процентное увеличение?
Решение: ((100 - 80) / 80) x 100% = (20/80) x 100% = 25%.
Типичная ошибка: Делят на новое значение вместо старого: 20/100 = 20% — неправильно! Процентное изменение всегда считается относительно исходного значения.
Среднее арифметическое (Mean)
Формула: Среднее = Сумма всех значений / Количество значений
Пример задачи: Среднее арифметическое 5 чисел равно 72. Если добавить шестое число — 90, каким станет новое среднее?
Решение: Сумма 5 чисел = 72 x 5 = 360. Новая сумма = 360 + 90 = 450. Новое среднее = 450 / 6 = 75.
Типичная ошибка: Считают среднее двух средних: (72 + 90) / 2 = 81 — неправильно! Нужно работать с суммами.
Среднее взвешенное
Формула: Средневзвешенное = (w1 x v1 + w2 x v2 + ... + wn x vn) / (w1 + w2 + ... + wn)
Пример задачи: В классе A — 20 студентов со средним баллом 85. В классе B — 30 студентов со средним баллом 90. Каков общий средний балл?
Решение: (20 x 85 + 30 x 90) / (20 + 30) = (1700 + 2700) / 50 = 4400 / 50 = 88.
Медиана (Median)
- Для нечётного количества данных: среднее значение при упорядочивании
- Для чётного количества данных: среднее двух средних значений
Когда использовать: Медиана более устойчива к выбросам, чем среднее. SAT часто проверяет понимание этого различия.
Пример задачи: Набор данных: 3, 7, 8, 12, 15, 22, 100. Что ближе к «типичному» значению — среднее или медиана?
Решение: Медиана = 12 (среднее значение). Среднее = 167/7 = 23.9. Медиана ближе к большинству данных, потому что выброс 100 сильно завышает среднее.
Мода (Mode)
Наиболее часто встречающееся значение в наборе данных. Набор данных может иметь одну моду, несколько мод или не иметь моды вовсе.
Размах (Range)
Формула: Range = Максимальное значение - Минимальное значение
Стандартное отклонение (Standard Deviation)
На SAT не нужно вычислять стандартное отклонение вручную. Нужно понимать концепцию:
- Стандартное отклонение измеряет разброс данных вокруг среднего
- Чем больше стандартное отклонение, тем больше данные «рассеяны»
- Чем меньше стандартное отклонение, тем ближе данные к среднему
- Добавление/вычитание константы ко всем данным не меняет стандартное отклонение
- Умножение/деление всех данных на константу умножает/делит стандартное отклонение на ту же константу
Пример задачи: Набор A: {10, 10, 10, 10, 10}. Набор B: {2, 6, 10, 14, 18}. У какого набора стандартное отклонение больше?
Решение: У набора B, потому что его значения более рассеяны вокруг среднего (10). У набора A стандартное отклонение = 0, потому что все значения одинаковы.
Вероятность
Базовая формула:
Формула: P(A) = Число благоприятных исходов / Общее число исходов
Вероятность дополнительного события:
Формула: P(не A) = 1 - P(A)
Формула сложения:
Формула: P(A или B) = P(A) + P(B) - P(A и B)
Независимые события:
Формула: P(A и B) = P(A) x P(B) (если события независимы)
Условная вероятность:
Формула: P(A | B) = P(A и B) / P(B)
Пример задачи: В таблице двустороннего распределения 200 студентов. 80 занимаются спортом, 60 играют в музыкальном коллективе, 25 занимаются и тем, и другим. Какова вероятность, что случайный студент занимается спортом ИЛИ музыкой?
Решение: P(спорт или музыка) = 80/200 + 60/200 - 25/200 = 115/200 = 57.5%.
Типичная ошибка: При вычислении P(A или B) забывают вычесть P(A и B), считая дважды пересечение.
4. Геометрия и тригонометрия (Geometry & Trigonometry)
Геометрия и тригонометрия составляют около 15% вопросов (~6-7 из 44). Несмотря на меньшее число вопросов, эти формулы критически важны — геометрические задачи часто имеют высокий уровень сложности.
Площади фигур
| Фигура | Формула площади |
|---|---|
| Квадрат | A = s^2 |
| Прямоугольник | A = l x w |
| Треугольник | A = (1/2) x b x h |
| Параллелограмм | A = b x h |
| Трапеция | A = (1/2)(b1 + b2) x h |
| Круг | A = pi x r^2 |
| Сектор | A = (theta / 360) x pi x r^2 |
Периметры и длина окружности
| Фигура | Формула периметра |
|---|---|
| Квадрат | P = 4s |
| Прямоугольник | P = 2l + 2w |
| Треугольник | P = a + b + c |
| Окружность | C = 2 x pi x r = pi x d |
| Длина дуги | L = (theta / 360) x 2 x pi x r |
Пример задачи: Сектор круга с радиусом 10 имеет центральный угол 72 градуса. Чему равна длина дуги?
Решение: L = (72/360) x 2 x pi x 10 = (1/5) x 20pi = 4pi (примерно 12.57).
Объёмы тел
| Тело | Формула объёма |
|---|---|
| Куб | V = s^3 |
| Прямоугольный параллелепипед | V = l x w x h |
| Цилиндр | V = pi x r^2 x h |
| Конус | V = (1/3) x pi x r^2 x h |
| Сфера | V = (4/3) x pi x r^3 |
| Пирамида | V = (1/3) x B x h (B — площадь основания) |
Пример задачи: Цилиндрический бак имеет радиус 3 и высоту 10. Какой объём воды он вмещает?
Решение: V = pi x 9 x 10 = 90pi (примерно 282.7 кубических единиц).
Теорема Пифагора
Формула: a^2 + b^2 = c^2
Где a и b — катеты прямоугольного треугольника, c — гипотенуза.
Пифагоровы тройки (запомните наизусть):
| Тройка | Кратные |
|---|---|
| 3 — 4 — 5 | 6-8-10, 9-12-15, 12-16-20 |
| 5 — 12 — 13 | 10-24-26 |
| 8 — 15 — 17 | — |
| 7 — 24 — 25 | — |
Пример задачи: Прямоугольник имеет стороны 6 и 8. Чему равна диагональ?
Решение: d = sqrt(6^2 + 8^2) = sqrt(36 + 64) = sqrt(100) = 10. (Тройка 6-8-10 = удвоенная 3-4-5.)
Типичная ошибка: Применяют теорему Пифагора к непрямоугольному треугольнику. Формула работает только для треугольников с углом 90 градусов.
Специальные прямоугольные треугольники
Треугольник 45-45-90
Соотношение сторон: x : x : x x sqrt(2)
Когда использовать: Когда в задаче есть квадрат с диагональю или равнобедренный прямоугольный треугольник.
Пример задачи: Диагональ квадрата равна 10. Чему равна сторона квадрата?
Решение: s x sqrt(2) = 10, значит s = 10 / sqrt(2) = 5 x sqrt(2).
Треугольник 30-60-90
Соотношение сторон: x : x x sqrt(3) : 2x (напротив углов 30, 60, 90 соответственно)
Когда использовать: Когда в задаче есть равносторонний треугольник (его высота делит его на два 30-60-90 треугольника) или когда явно указаны углы 30 или 60 градусов.
Пример задачи: Равносторонний треугольник имеет сторону 8. Чему равна его высота?
Решение: Высота = (8/2) x sqrt(3) = 4 x sqrt(3) (примерно 6.93).
Окружности
Уравнение окружности
Формула: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, где (h, k) — центр, r — радиус
Пример задачи: Окружность имеет уравнение (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25. Каковы центр и радиус?
Решение: Центр (3, -2), радиус r = sqrt(25) = 5.
Типичная ошибка: Путают знаки: если в уравнении (y + 2)^2, то координата центра по y равна -2 (не +2).
Пример задачи: Уравнение x^2 + y^2 - 6x + 4y = 12. Найдите центр и радиус.
Решение: Выделяем полные квадраты: (x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 = 25. Получаем (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25. Центр (3, -2), радиус 5.
Вписанный угол и центральный угол
- Центральный угол = дуга, на которую он опирается
- Вписанный угол = (1/2) x дуга, на которую он опирается
- Вписанный угол, опирающийся на диаметр = 90 градусов
Углы и прямые
| Свойство | Описание |
|---|---|
| Вертикальные углы | Равны |
| Смежные углы | В сумме 180 градусов |
| Соответственные углы (при параллельных прямых) | Равны |
| Накрест лежащие углы (при параллельных прямых) | Равны |
| Односторонние углы (при параллельных прямых) | В сумме 180 градусов |
| Сумма углов треугольника | 180 градусов |
| Внешний угол треугольника | Равен сумме двух несмежных внутренних углов |
| Сумма углов n-угольника | (n - 2) x 180 градусов |
Формула расстояния и формула середины отрезка
Расстояние между двумя точками:
Формула: d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
Середина отрезка:
Формула: M = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)
Пример задачи: Середина отрезка AB — точка M(5, 3). Если A = (2, 7), найдите B.
Решение: (2 + x) / 2 = 5, значит x = 8. (7 + y) / 2 = 3, значит y = -1. B = (8, -1).
Базовые тригонометрические соотношения (SOH-CAH-TOA)
| Функция | Формула | Мнемоника |
|---|---|---|
| sin(A) | Противолежащий / Гипотенуза | SOH |
| cos(A) | Прилежащий / Гипотенуза | CAH |
| tan(A) | Противолежащий / Прилежащий | TOA |
Пример задачи: В прямоугольном треугольнике угол A имеет sin(A) = 3/5. Чему равен cos(A)?
Решение: Если противолежащий = 3, гипотенуза = 5, то прилежащий = sqrt(25 - 9) = 4. cos(A) = 4/5.
Связь sin и cos для дополнительных углов
Формула: sin(x) = cos(90 - x)
Формула: cos(x) = sin(90 - x)
Когда использовать: Это одна из самых часто тестируемых тригонометрических концепций на SAT!
Пример задачи: Если sin(35) = cos(x), чему равно x?
Решение: x = 90 - 35 = 55.
Типичная ошибка: Пишут x = 35 вместо x = 55. Помните: sin и cos «зеркальны» относительно 45 градусов.
Основное тригонометрическое тождество
Формула: sin^2(x) + cos^2(x) = 1
Когда использовать: Когда известен sin или cos и нужно найти другой. Также используется для упрощения тригонометрических выражений.
Перевод градусов в радианы
Формула: радианы = градусы x (pi / 180)
Формула: градусы = радианы x (180 / pi)
Ключевые значения:
| Градусы | Радианы |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 30 | pi/6 |
| 45 | pi/4 |
| 60 | pi/3 |
| 90 | pi/2 |
| 180 | pi |
| 360 | 2pi |
Единичная окружность (основные значения)
| Угол | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0 (0 рад) | 0 | 1 | 0 |
| 30 (pi/6) | 1/2 | sqrt(3)/2 | sqrt(3)/3 |
| 45 (pi/4) | sqrt(2)/2 | sqrt(2)/2 | 1 |
| 60 (pi/3) | sqrt(3)/2 | 1/2 | sqrt(3) |
| 90 (pi/2) | 1 | 0 | не определён |
Типичная ошибка: Путают значения sin и cos для 30 и 60 градусов. Запомните: sin растёт от 0 до 1 при переходе от 0 к 90 градусам, а cos убывает от 1 до 0.
Стратегия: калькулятор Desmos vs. знание формул
На Digital SAT графический калькулятор Desmos доступен во всех вопросах математической секции. Это мощный инструмент, но он не заменяет знание формул. Вот как правильно использовать каждый подход:
Когда Desmos экономит время
| Ситуация | Как использовать Desmos |
|---|---|
| Системы уравнений | Постройте обе прямые — точка пересечения = ответ |
| Нули функции | Постройте y = f(x) и найдите точки пересечения с осью x |
| Неравенства | Визуализируйте области |
| Проверка ответа | Подставьте полученное значение и убедитесь, что уравнение выполняется |
| Вершина параболы | Постройте квадратичную функцию — Desmos покажет вершину |
Когда формулы быстрее Desmos
| Ситуация | Почему формула быстрее |
|---|---|
| Наклон прямой по двум точкам | m = (y2-y1)/(x2-x1) быстрее, чем строить график |
| Количество решений | Проверка дискриминанта = 2 секунды |
| Проценты и пропорции | Desmos не помогает с word problems |
| Тригонометрические тождества | Нужно знать связь sin/cos для дополнительных углов |
| Стандартное отклонение | Desmos не вычисляет SD, нужно понимание концепции |
| Свойства степеней | Упрощение алгебраических выражений — руками быстрее |
Совет: На тренировках попробуйте решать каждую задачу двумя способами — формулой и через Desmos. Так вы поймёте, какой метод быстрее для каждого типа задач. Подробнее об использовании Desmos и других инструментов — в статье Подготовка к SAT с AI.
Типичные ошибки и ловушки с формулами на SAT
College Board намеренно создаёт варианты ответов, которые соответствуют типичным ошибкам. Зная эти ловушки, вы сразу отсечёте неправильные варианты.
Топ-10 ошибок с формулами
| # | Ошибка | Правильно |
|---|---|---|
| 1 | (a + b)^2 = a^2 + b^2 | (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 |
| 2 | sqrt(a + b) = sqrt(a) + sqrt(b) | sqrt(a + b) нельзя разделить |
| 3 | Процентное изменение: деление на новое | Деление на старое (исходное) значение |
| 4 | Среднее двух средних = общее среднее | Нужно работать с суммами |
| 5 | -3x > 12 => x > -4 | x < -4 (знак меняется при делении на минус) |
| 6 | sin(30) = sqrt(3)/2 | sin(30) = 1/2 (путают с cos(30)) |
| 7 | (y + 2)^2 => центр y = +2 | Центр y = -2 (знак противоположный) |
| 8 | Теорема Пифагора для любого треугольника | Только для прямоугольного треугольника |
| 9 | Средняя скорость = (v1 + v2) / 2 | Средняя скорость = общее расстояние / общее время |
| 10 | x |
Дополнительные формулы: скорость и работа
Скорость, расстояние, время
Формула: Расстояние = Скорость x Время
Формула: Скорость = Расстояние / Время
Формула: Время = Расстояние / Скорость
Средняя скорость:
Формула: Средняя скорость = Общее расстояние / Общее время
Типичная ошибка: Средняя скорость не равна среднему арифметическому двух скоростей. Если вы едете 60 км/ч вперёд и 40 км/ч обратно по одному маршруту, средняя скорость = 2 x 60 x 40 / (60 + 40) = 48 км/ч (не 50).
Работа
Формула: Если A делает работу за t1 часов, а B за t2 часов, то вместе: 1/t1 + 1/t2 = 1/t
Пример задачи: Насос A наполняет бассейн за 6 часов, насос B — за 4 часа. За сколько часов они наполнят бассейн вместе?
Решение: 1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12. t = 12/5 = 2.4 часа.
Быстрая шпаргалка: все ключевые формулы на одной странице
Алгебра
- y = mx + b (slope-intercept form)
- m = (y2 - y1) / (x2 - x1) (наклон)
- y - y1 = m(x - x1) (point-slope form)
- Параллельные: m1 = m2; Перпендикулярные: m1 x m2 = -1
- |x| = a означает x = a или x = -a
Квадратные уравнения
- x = (-b +/- sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a)
- D = b^2 - 4ac (дискриминант)
- Вершина: x = -b/(2a)
- Виет: r1 + r2 = -b/a, r1 x r2 = c/a
- (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
- (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
- a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
Экспоненты и степени
- Рост: y = a(1 + r)^t
- Убывание: y = a(1 - r)^t
- a^m x a^n = a^(m+n)
- (a^m)^n = a^(mn)
- a^0 = 1; a^(-n) = 1/a^n
Геометрия
- Пифагор: a^2 + b^2 = c^2
- Тройки: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25
- 45-45-90: x, x, x x sqrt(2)
- 30-60-90: x, x x sqrt(3), 2x
- Окружность: (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2
- Расстояние: d = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)
- Середина: ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)
- Площадь сектора: (theta/360) x pi x r^2
- Длина дуги: (theta/360) x 2 x pi x r
Тригонометрия
- sin = O/H, cos = A/H, tan = O/A
- sin(x) = cos(90-x)
- sin^2(x) + cos^2(x) = 1
- Радианы = градусы x pi/180
Статистика и данные
- Среднее = сумма / количество
- P(A) = благоприятные / всего
- P(A или B) = P(A) + P(B) - P(A и B)
- % изменение = (Новое - Старое) / Старое x 100%
- Расстояние = скорость x время
- Совместная работа: 1/t1 + 1/t2 = 1/t
Стратегия подготовки: как выучить все формулы
Шаг 1: Разделите формулы на группы
Не пытайтесь выучить все формулы за один день. Разбейте их на группы по темам и учите по одной группе в день:
- День 1: Линейные уравнения и системы
- День 2: Квадратные уравнения и формулы сокращённого умножения
- День 3: Экспоненты и степени
- День 4: Геометрия — площади, периметры, объёмы
- День 5: Пифагор и специальные треугольники
- День 6: Окружности и углы
- День 7: Тригонометрия
- День 8: Статистика и вероятность
- День 9-10: Проценты, пропорции, скорость/работа
Шаг 2: Решайте задачи на каждую формулу
Просто заучивать формулы недостаточно. Для каждой формулы решите минимум 5-10 задач. Используйте банк вопросов SAT Portal — вопросы отсортированы по темам, и AI-репетитор объяснит каждое решение пошагово.
Шаг 3: Создайте свои карточки
Напишите формулу на одной стороне карточки, а на другой — пример задачи и типичную ошибку. Повторяйте карточки каждый день. Интервальное повторение (повторение через увеличивающиеся интервалы) — самый эффективный метод запоминания.
Шаг 4: Решайте пробные тесты с таймером
Когда вы уверены в формулах, переходите к решению полных модулей с таймером (35 минут на 22 вопроса). Это единственный способ проверить, действительно ли вы помните формулы под давлением.
Подробнее о стратегии подготовки — в нашей статье Как подготовиться к Digital SAT.
Частые вопросы о формулах SAT Math
Дают ли формулы на экзамене SAT?
Да, Reference Sheet содержит основные геометрические формулы (площади, объёмы, специальные треугольники). Однако алгебраические формулы, формулу дискриминанта, тригонометрические тождества и формулы статистики необходимо знать наизусть.
Сколько формул нужно выучить?
Около 40-50 ключевых формул. Это кажется много, но большинство из них вы уже знаете из школьной программы. Сосредоточьтесь на тех, которые вызывают затруднения.
Какие формулы самые важные?
По частоте появления на экзамене: slope-intercept form (y = mx + b), формула дискриминанта, формулы сокращённого умножения, теорема Пифагора и формула процентного изменения.
Можно ли пользоваться калькулятором для формул?
Desmos доступен во всех вопросах Math и может помочь визуализировать уравнения и проверить вычисления, но он не заменяет знание формул. Калькулятор — инструмент, а не замена знаний.
Какой балл можно получить, если знаешь все формулы?
Знание формул — необходимое, но не достаточное условие. Формулы обеспечивают фундамент, а высокий балл (750+) достигается сочетанием формул, стратегий решения и практики. Подробнее о баллах — в статье SAT баллы для университетов.
Заключение
Знание формул — фундамент высокого балла SAT Math. Без него даже лучшие стратегии решения задач бесполезны. Но простого заучивания недостаточно: каждую формулу нужно «прочувствовать» через десятки задач, понять, когда и как она применяется, и научиться распознавать ловушки College Board.
Для полного обзора математической секции прочитайте наш полный гид по SAT Math. Если вы только начинаете подготовку, начните с полного гида по экзамену SAT. Всё о системе подсчёта баллов — в статье SAT баллы: как считаются. Какие баллы нужны для топовых университетов — в статье SAT баллы для университетов. О том, как ИИ может ускорить вашу подготовку — в материале Подготовка к SAT с AI.
Начните с диагностики, определите, какие формулы вы знаете слабо, и целенаправленно работайте над ними. SAT Portal предлагает более 1200 вопросов с подробными решениями, AI-репетитора и пробные экзамены. Зарегистрируйтесь бесплатно и начните подготовку уже сегодня.
